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Libres Savoirs >> Mathématiques et leurs applications >> Mathématiques appliquées et calcul
Responsable :

Michel Kern
  


Niveau : Graduate

Langue du cours : Français

Période : Automne

Nombre d'heures : 26

Crédits ECTS : 2
SGS_S1923 Problèmes inverses
Ressources Pédagogiques :
Objectifs: Un problème inverse consiste à vouloir déterminer l'état interne d'un système, à partir d'observations, connaissant la structure du système. Il s'oppose au "problème direct", plus habituel. Les problèmes inverses sont omniprésents en science et en ingénierie, par exemple dès que l'on cherche des informations sur un système sans pouvoir les mesurer directement.

Des exemples sont fournis par toutes les techniques d'imagerie médicale, mas sont aussi abondants dans les sciences de la terre (sismique pétrolière), l'astronomie (restauration d'images bruitées), la finance (calibration de volatilité). Les problèmes inverses manifestent le plus souvent un caractère instable, lié au fait que des causes multiples peuvent produire les mêmes effets.

Le but de ce cours est d'abord de présenter sur divers exemples l'origine des problèmes inverses, de mettre en évidence leur instabilité, de présenter des méthodes pour analyser ces problèmes, et donner quelques outils pour obtenir des solutions, et en évaluer la qualité.
Le cours montrera ce qu'est une méthode de régularisation, et comment l'utiliser, en mettant en évidence le compromis fondamental entre stabilité et précision. Il introduira également quelques outils numériques permettant d'analyser un problème inverse: la  décomposition en valeurs singulières, et la méthode de l'état adjoint.

Des travaux pratiques permettront d'illustrer ces concepts sur des exemples.

Programme:
  • Introduction: origine des problèmes inverses, exemples (équations intégrales)
  • Modèles linéaires: moindres carrés, décomposition en valeurs singulières
  • Régularisation: méthode de Tikhonov, stratégies à priori et à posteriori
  • Statistiques: régression, estimation Bayésienne
  • ModèleS non=lénéaires: paramètre. état, observation, lien avec l'optimisation
  • État adjoint: calcul de gradient, équations différentielles, paramétrisation
  • Mini-projet
Chaque demi-journée comportera 2 séances de cours, et une séance de PC ou de TP.



Niveau requis : Algèbre linéaire, calcul différentiel,

Modalités d'évaluation : Mini-projet

Dernière mise à jour : mercredi 11 juillet 2012

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