Thèse
Auteur :
Perchat Etienne

Date de soutenance :
01 juillet 2000

Directeur(s) de thèse :
Fourment Lionel



École :

MINES ParisTech
Intitulé de la thèse : MINI-élément et factorisation incomplètes pour la parallelisation d'un solveur de Stokes 2D: application au forgeage


Résumé : Nous présentons dans cette contribution les techniques que nous avons mises en oeuvre pour paralléliser un code éléments finis 2D dédié à la simulation du forgeage de pièces axisymétriques. Les modèles de comportement conduisent à résoudre des équations de type Stokes généralisé, exprimées sous forme mixte en vitesse et pression. La discrétisation spatiale est effectuée par une méthode éléments finis originale basée sur une stabilisation du MINI-élément P1+P1
Cette approche mène à des systèmes linéaires symétriques non définis positifs que l§on peut inverser avec un solveur itératif. L§introduction de préconditionneurs par factorisation incomplète LDL(0) ainsi que l§optimisation de la résolution non-linéaire nous permet de concurrencer une méthode directe sur un maillage de plus de 3000 noeuds.
Une stratégie de parallélisation SPMD couplée avec un solveur itératif avec préconditionnement diagonal aboutit à, un solveur parallèle simple et efficace, ne dépendant ni de la partition ni du nombre de domaines. Différentes stratégies sont envisagées pour développer des factorisations incomplètes parallèles. Un préconditionneur additif de Schwarz est notamment proposé. Celui-ci est construit à partir des matrices locales, complétées sur leur diagonale aux interfaces et avec un coefficient de sur-relaxation. Des résultats sur des simulations industrielles sont donnés par une machine parallèle à mémoire partagée. Ceux-ci, obtenus sur des problèmes 2D et 3D, prouvent la pertinence de notre approche.
Les stratégies développées permettent ainsi de réduire de manière significative les temps de simulation de la majorité des cas industriels. Elles permettent aussi d§élargir les champs d§application des codes de calcul à des simulations industrielles très complexes ou avec des maillages de plus de 15000 noeuds en 2DIntroduction – 1
I – Formulation mixte P1+P1 axisymétrique pour le problème de forgeage: 3
1 - Viscoplasticité et problème de Stokes généralisé: 3
1.1 – Problème de forgeage: présentation et formulation mécanique: 3
1.2 – Lois de comportement: 4
1.3 – Problème fort
2 – Formulation faible et discrétisation: 6
2.1 – Formulation faible continue: 7
2.2 – Discrétisation: 7
3 – Formulation P1P1 stabilisée: 8
4 – Discrétisation par le MINI-élément P1+P1: 10
4.1 – Le MINI-élément en 2D plan et en 3D: 11
4.1.1 – Cas Newtonien (m=1): 12
4.1.2 – Cas non-linéaire: 13
4.2 – Cadre axisymétrique: 14
4.3 – Expression discrète: 15
4.4 – Formation simplifiée: 18
5 – Comparaison et validation des formulations: 20
5.1 – L§écoulement de Poiseuille tube: comparaison à des solutions analytiques: 24
5.2 – Prise en compte du contact: écrasement d§un cylindre: 28
5.2.1 – Calcul d§erreur numérique: 28
5.2.2 – Résultats
6 – conclusion
II – Résolution itérative du problème de Stokes: 33
1 – Méthodes itératives de résolution d§un problème mixte: 33
1.1 – Méthodes d§Uzawa et de Lagrangien: 33
1.2 – Méthodes alternatives à un seul niveau: 36
2 – La méthode du résidu minimal: 37
2.1 - Présentation: 37
3 – Le préconditionnement: 39
3.1 – Les préconditionneurs mis en place: 39
3.1.1 – Préconditionneurs diagonaux et blocs diagonaux: 39
3.1.2 – Préconditionneurs par factorisation incomplète: 40
3.2 – Estimation du coût et de la complexité des méthodes: 42
3.2.1 – Le stockage: 42
3.2.2 – Complexité: 43
3.2.3 – Taux de convergence de MINRES: 45
3.3 – Premiers résultats numériques: 48
4 – Solveur non-linéaire et optimisation des temps de calcul: 51
4.1 – Paramètre de stabilisation et nombre d§itérations: 51
4.2 – Optimisation des opérations élémentaires du solveur itératif: 52
4.3 – Résolutions inexactes et solveur itératif: 55
4.4 – Fiabilisation du solveur: 57
5 – conclusion
III – Le solveur parallèle – 61
1 – Généralités sur le parallélisme: 61
1.1 – Le hardware: 61
1.2 – Stratégies de programmation et cadre de notre travail: 62
1.3 – Modèles de mesures de performance: 63
1.3.1 – Coûts de communications: 65
2 – Les méthodes itératives parallèles: 65
2.1 – Les méthodes de décomposition de domaines primales: 68
2.1.1 – La méthode alternative de Schwarz: 68
2.1.2 – Méthodes du complément de Schur: 70
2.1.3 – La sous-structuration: 73
2.2 – Les méthodes de décomposition de domaines duales: 74
2.3 – Applications au problème de Stokes: 77
2.4 – Discussion: 77
3 – Stratégie de parallélisation SPMD: 78
3.1 – Méthode SPMD par éléments: 79
3.2 – Méthode SPMD par noeuds: 82
4 – Résolution parallèle: 83
4.1 – Algorithme de positionnement: 83
4.2 – Remaillage et repartitionnement parallèle: 86
4.3 – Comportement du solveur parallèle: 87
4.3.1 – Plateformes parallèles: 87
4.3.2 – Efficacité de la parallélisation 2D: 89
5 – conclusions
IV – Préconditionnement incomplet parallèle: 95
1 – Position du problème: 95
1.1 – Méthode par domaines: 97
2 – Préconditionneurs ILU(0) locaux: 98
2.1 – Préconditionnement à partir des restrictions (alpha maj.-oméga i): 101
2.1.1 - Cas test FIL 2601: 101
2.1.2 – Comportement des préconditionneurs avec ou sans recouvrements: 102
2.2 – Préconditionnement à partir des matrices (alpha maj.-oméga i): 107
2.2.1 – Comparaison des préconditionneurs IC et IC(omega): 107
2.2.2 – Choix du coefficient de relaxation: 108
2.3 – Comparaison des préconditionneurs IC(omega) et LDL(0): 109
2.4 – Temps de calcul: 111
3 – conclusion
V – Tests et applications à des cas industriels – 115
1 – Applications à des problèmes industriels 2D: 115
1.1 – Cas de FORD WERKE: 115
1.1.1 – Meilleure robustesse du préconditionneur IC(omega) Bloc Diag: 117
1.1.2 – Temps de calcul et performance: 122
1.2 – Cas de GSB: 123
1.3 – Conclusion sur le 2D: 125
2 – applications à des problèmes industriels 3D: 125
2.1 – Simulation du laminage circulaire: 125
Conclusion et perspectives: 129
Annexe et bibliographie: 131

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