Thèse
Auteur :
Biaou Angelbert Chabi

Date de soutenance :
13 décembre 2004

Directeur(s) de thèse :
Hubert Pierre



École :

MINES ParisTech
Intitulé de la thèse : De la méso-échelle à la micro-échelle: Désagrégation spatio-temporelle multifractale des précipitations


Résumé : Le passage de la méso-échelle, échelle des modèles de circulation générale GCM, de l'anglais "General Circulation Models", à la micro-échelle (échelle hydrologique), pour les précipitations, est un exercice assez complexe. Les champs de précipitations comme la plupart des champs géophysiques turbulents obéissent au concept d'invariance d'échelle, qui est une caractéristique principale des champs multifractals. Par ailleurs, il a été prouvé que le transfert d'énergie des grosses structures aux plus petites structures au sein d'un phénomène géophysique turbulent s'effectue de façon multiplicative (Kolmogorov, 1962; Mandelbrot, 1974 ...): un facteur aléatoire déterminant la fraction de flux transmis d'un gros tourbillon à un plus petit.

Le travail que nous présentons ici s'inscrit dans le cadre du projet EDF "Prévisions saisonnières et Hydraulicité" dans la gestion de son parc hydroélectrique et a pour objectif la construction d'un modèle de désagrégation basé sur le principe d'invariance d'échelle des champs de précipitation, donc utilisant les propriétés des champs géophysiques mentionnées ci-dessus.

Dans un premier temps, nous conduisons une analyse multifractale (Schertzer et Lovejoy , 1991) sur des séries pluviométriques de la France (243 séries pluviométriques au pas de temps de six minutes, constituées sur une dizaine d'années distribuées sur la France métropolitaine), ce qui nous permet de déduire les paramètres multifractals, dans le temps, dans l'espace ou dans le cas spatio-temporel. La seconde étape consiste à construire des cascades multifractales, à partir des valeurs saisonnières de pluies avec les paramètres déterminés dans la première étape. Le principe de cette deuxième partie consiste, à partir d'une prévision mensuelle sur des mailles de dimensions 243km×243km×32jours (correspondant à une anisotropie espace-temps de l'ordre de H=2/3 :x=y=t (3/2) ) voisines de celles des modèles de circulation générale (dimensions de l'ordre de 250km×250km×30jours) et à conduire la cascade multifractale, avec les paramètres multifractals préalablement déterminés, pour atteindre des valeurs de prévision sur des mailles de l'ordre de 1km×1km×1j. Les résultats obtenus devront faire l'objet d'un conditionnement orographique avant d'être comparés avec les valeurs réelles obtenues.TABLE DES MATIERES I

LISTE DES FIGURES - IV

LISTE DES TABLEAUX - VII

REMERCIEMENTS - VIII

RESUME - 1

ABSTRACT - 2

INTRODUCTION 5

Cadre de l'étude 5

Principe de la modélisation numérique - 5

Les modèles de circulation générale GCM - 6

Les modèles de désagrégation - 7

Multifractalité en géophysique - 8

But de la thèse - 10

Plan de la thèse - 11

1 FRACTALS, DIMENSION FRACTALE, CODIMENSION - 12

1.1 Notion de fractale - 12

1.1.1 La géométrie classique - 12

1.1.2 La géométrie fractale - 13

1.1.3 Définition d'un objet fractal - 14

1.2 Notion de dimension fractale - 15

1.2.1 Considérations générales - 15

1.2.2 Calcul de la dimension fractale 17

1.2.3 Application à la courbe de Von Koch - 19

1.2.4 Application aux occurrences de pluie 20

1.3 Notion de codimension - 23

1.4 Vers les multifractals 24

1.5 Conclusion 25

2 MULTIFRACTALS - ANALYSE MULTIFRACTALE - 28

2.1 Loi d'échelle en géophysique - 28

2.2 Cascades multifractales - 29

2.2.1 Principe des cascades 30

2.2.2 Exemples de cascade discrète - 32

2.2.2.1 Le ?-modèle 32

2.2.2.2 Le ?-modèle 34

2.2.3 Les différents types de cascades - 35

2.2.3.1 Cascades spatiales auto-similaires - 35

2.2.3.2 Cascades spatiales auto-affines - 36

2.2.3.3 Invariance d'Echelle Généralisée (IEG) - 37

2.3 Propriétés d'un champ multifractal - 38

2.3.1 La fonction codimension c(?) - 38

2.3.2 Fonction d'échelle des moments K(q) 39

2.3.3 Transformation de Legendre - 40

2.3.4 Définition de K(q) et c(?): universalité - 41

2.3.5 Divergence des moments 42

2.3.6 Classification des champs multifractals - 43

2.4 Analyse multifractale des données - 44

2.4.1 Les techniques d'analyse multifractale - 44

2.4.1.1 Les méthodes indirectes - 45

2.4.1.2 Une méthode directe: Le DTM -46

2.5 Conclusion - 49

3 DONNEES - ANALYSE MULTIFRACTALE DES DONNEES - 52

3.1 Données du GCM - 52

3.2 Les données du DOUBS - 54

3.3 La base PRECIP - 54

3.3.1 Présentation générale - 55

3.3.2 Carte des précipitations - 61

3.3.2.1 Interpolation sous maille - 62

3.3.2.2 Précipitation journalière et moyenne journalière - 62

3.3.3 Etude des précipitations maximales journalières - 66

3.4 Application du DTM aux séries de pluie - 68

3.4.1 Analyse multifractale sommaire des GCM - 68

3.4.2 Choix de q - 70

3.4.3 Analyse temporelle - 72

3.4.3.1 Séries journalières 72

3.4.3.2 Séries de six minutes - 79

3.4.4 Analyse spatiale - 81

3.4.5 Analyse spatio-temporelle - 86

3.4.6 Synthèse et discussion - 88

3.5 Conclusion - 92

4 LE MODELE - 94

4.1 Les générateurs de variables aléatoires - 94

4.1.1 Distribution de Lévy - 95

4.1.1.1 Rappel: Théorème central limite - 95

4.1.1.2 Attracteurs universels de sommes de variables aléatoires iid: distribution de Lévy - 96

4.1.1.3 Génération des variables de Lévy - 97

4.2 Construction du modèle - 98

4.2.1 Cas des cascades discrètes 98

4.2.2 Cascades continues - 102

4.2.2.1 Cascades continues et universalité - 103

4.2.2.2 Construction de cascades continues avec générateur de Lévy - 104

4.2.2.3 Simulation de la cascade continue avec Générateur de Lévy - 107

4.3 Simulation du modèle - 110

4.3.1 Simulation du modèle sur l'Hexagone - 111

4.3.2 Simulation du modèle sur la fenêtre n° 1 - 112

4.3.2.1 Etudes des variations des paramètres ? et C1 - 113

4.3.2.2 Etude des singularités maximales ?s - 116

4.3.2.3 Paramètres ? et C1 retenus - 119

4.3.3 Simulation sur la fenêtre n°1 avec ?=0.9 et C1=0.2 120

4.4 Simulation avec ? =0.9 et C1=0.13 - 123

4.4.1 Résultats de la cascade avec ? =0.9 et C1=0.13 - 123

4.4.2 Analyse par DTM des résultats d'une cascade - 126

4.4.3 Etude statistique des résultats de la simulation du modèle 128

4.4.4 Etude des résultats sur une maille - 135

4.5 Discussion générale - 138

4.5.1 Influence du couple (?,c1) sur les singularités générées - 138

4.5.2 Incertitudes sur le choix de ?, c1 - 142

4.5.3 Limites du modèle - 146

CONCLUSION - 148

BIBLIOGRAPHIE - 153

ANNEXES - 158

Annexe A: Bases de données utilisées - 158

Annexe B: Résultats du DTM - 165

Annexe C: Résultats de simulations du modèle - 171

Annexe D: Notice du modèle - 176

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